Stability of Linear System

이번 글에서는 선형 시불변 시스템 (LTI system) 의 안정성의 개념에 대해 간략하게 다루도록 하겠습니다. 안정성은 두 가지 측면에서의 안정성을 생각해 볼 수 있는데요, 바로 zero-input stability 와 zero-state stability 입니다. 첫 번째로 살펴볼 안정성은 zero-state stability 입니다.

 

1. Zero-state Stability

Zero-state stability 를 살펴보기에 앞서 먼저 안정성을 고려하고자 하는 시스템에 대해 몇 가지 가정을 하고 넘어가야 하는데요, 주어진 시스템은 LTI, causal system 이고, 안정성을 따지고자 하는 초기 상태 $t=0$ 에서 initially relaxed 이어야 합니다. 대충 초기 상태가 평형점이라고 생각하시면 될 것 같습니다. 초기 상태가 평형점이 아니라면 시스템은 input이 없더라도 어디론가 흘러가 다른 상태변수 값을 갖게 되겠죠.

일단 SISO system 을 먼저 다루고 MIMO 에 대해 생각해 보려고 합니다. SISO system 의 output 은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$$y(t) = \int_0^t g(t-\tau)u(\tau) d\tau = \int_0^t g(\tau)u(t-\tau) d\tau$$

이에 대해 시스템의 BIBO stability 를 다음과 같이 쓸 수 있습니다..

 

A SISO system is BIBO stable if and only if g(t)​ is absolutely integrable in $[0,\infty)$​ or

$$\int_0^{\infty} |g(t)|dt \le M < \infty$$

for some constant M.

 

BIBO 는 Bounded Input, Bounded Output 의 약자로, 제어입력이 유계되어 있으면 출력도 유계된다는 뜻입니다. 즉 위의 조건을 만족한다면, 시스템에 유계 제어입력을 가한 경우 출력이 유계된다는 것이죠. 이와 같이 LTI causal system 의 zero-state stability 는 BIBO stability 라는 개념을 통해 설명할 수 있습니다.

그렇다면 BIBO stable system 은 어떤 특성이 있는지 궁금해질 수 있는데요, 아닐수도 있고 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

 

If a system with impulse response $g(t)$ is BIBO stable, then, as $t\rightarrow \infty$,

1. the output excited by $u(t) = a$, for all $t\ge 0$, approaches $\hat{g}(0)\cdot a$,
2. the output excited by $u(t) = \cos \omega_0 t$, for all $t\ge 0$, approaches $|\hat{g}(j\omega_0)|\cos(\omega_0 t + \angle\hat{g}(j\omega_0))$
3. the output excited by $u(t) = \sin\omega_0t$, for all $t\ge0$, approaches $|\hat{g}(j\omega_0)|\sin(\omega_0 t+ \angle \hat{g}(j\omega_0))$

where $\hat{g}(s)$ is the Laplace transform of $g(t)$.

 

사실 이건 특성이라기보다.. BIBO stable system 에 제어입력을 가했을 때 출력이 대략 어떤 값으로 유계되는지 대표적인 케이스를 나타낸 거라고 생각할 수 있겠네요.

 

A. Laplace Domain Analysis

SISO system 의 경우에 보통 라플라스 변환을 통해 시스템을 분석하곤 합니다. 시스템의 BIBO stability 또한 라플라스 변환을 통해서 살펴볼 수 있는데, 결론만 말하자면 다음과 같습니다.

 

A SISO system with proper rational transfer function $\hat{g}(s)$ is BIBO stable if and only if every pole of $\hat{g}(s)$ has a negative real part or, equivalently, lies inside the left half-s-plane.

 

고전제어에서 다루는 내용이죠. 원점보다 왼쪽에 pole 이 있는 경우 안정하다는 내용입니다. 참고로 시스템이 만약 discrete system 인 경우에는 LHP(left half plane) 이 단위원 내부에 대응합니다.

이와 동치인 따름정리로 다음과 같이 쓸 수도 있습니다.

 

A SISO system with proper rational transfer function $\hat{g}(s)$ is BIBO stable if and onlyu if its impulse response $g(t)$ approaches 0 as $t\rightarrow \infty$.

 

이건 사실 자명한 것이, pole 들이 모두 LHP 에 있는 경우 impulse response 가 0으로 수렴하기 때문에 그렇습니다.

 

B. MIMO System Case

MIMO system 에 대해서도 SISO system 에서와 마찬가지로 BIBO stability 를 말할 수 있겠죠. 시스템이 BIBO stability 이기 위한 MIMO system의 조건은 다음과 같습니다.

 

A MIMO system with impulse response matrix $G(t) = [g_{ij}(t)] $ is BIBO stable if and only if every $g_{ij} (t)$ is absolutely integrable in $[0,\infty)$.

 

A MIMO system with proper rational transfer matrix $\hat{G}(s) = [\hat{g}_{ij}(s)]$ is BIBO stable if and only if every pole of every $\hat{g}_{ij}(s)$ has a negative real part.

 

자세한 설명은 생략한다

즉, SISO system 이 BIBO stable 이기 위한 조건이었던 것들을 MIMO system 에서는 모든 전달함수 행렬의 원소들에 대해 만족하면 된다는 것입니다. 별로 깊이 생각 안 해 봐도 그럴 것 같죠? 그럴싸하네요.

 

2. Zero-Input Stability

시스템의 안정성의 두 번째 측면인 zero-input stability 에 대해서 이야기해 봅시다. 제어입력이 0인 경우를 말하는데요, 우리는 선형 시스템을 다루고 있으니까 다음과 같이 시스템을 나타낼 수 있겠죠.

$$\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{Ax}(t)$$

Zero-input stability 는 제어입력을 고려하지 않기 때문에 internal stability 라고도 부르는 것 같고요, 시스템이 SISO 인지 MIMO 인지는 중요하지 않습니다. 그리고 여기서는 특정 상태변수나 그 조합으로 나타낼 수 있는 output $y$ 가 아니고 단순히 모든 상태변수 $\mathbf{x}$ 의 안정성을 생각합시다.

 

The response of $\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{Ax}(t)$ is marginally stable or stable in the sense of Lyapunov if every finite state $\mathbf{x}_0$ excites a bounded response. It is asymptotically stable if every finite initial state excites a bounded response which, in addition, approaches $\mathbf{0}$ as $t \rightarrow \infty$.

 

그러니까 상태변수가 유계인 상태로 유지되면 marginally stable, 거기다가 0으로 수렴하기까지 하면 asymptotically stable 이라는 말이네요. 선형 시스템의 경우 시스템의 특성을 해석하기 쉽기 때문에 위의 두 가지 경우를 따져보기가 쉽습니다.

 

1. The equation $\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{Ax}(t)$ is marginally stable if and only if all eigenvalues of $\mathbf{A}$ have zero or negative real parts and those with zero real parts are simple roots of the minimal polynomial of $\mathbf{A}$.
2. The equation $\dot{x}(t) = \mathbf{Ax}(t)$ is asymptotically stable if and only if all eigenvalues of $\mathbf{A}$ have negative real parts.

 

위의 언급에 대한 자세한 내용은 선형대수가 좀 들어가서.. 적기 귀찮으니 여기에서는 생략합니다. 나중에 선형대수에 대한 정리를 할 때 자세히 적기로 하고 넘어갑시다. 아무튼 이 내용은 시스템 행렬 $\mathbf{A}$ 의 고유치 분석을 통해서 시스템의 internal stability 를 판단할 수 있다는 내용입니다. 고유치가 음수면 안정하다는 거죠.

 

정리하자면, 이 글에서는 LTI system 의 두 가지 측면에서의 안정성에 대해 다루었습니다. Zero-state stability 와 Internal stability 가 그것이죠. Zero-state stability 는 BIBO stability 개념을 통해 생각해 볼 수 있고, internal stability 는 marginal stability 와 asymptotic stability 로 단계를 나누어 판단할 수 있었습니다. 다음 글에서는 아마 선형 시스템의 가제어성과 가관측성을 다룰 것 같습니다. 아닐수도 있고.