Stability of Nonlinear System

이번 글에서는 비선형 시스템의 안정성 분석을 하기 위해 공부한 내용에 대해 정리해 보겠습니다. 일단 먼저, 제어시스템이 아닌 그냥 다음과 같이 표현되는 비선형 시스템을 고려하기로 합니다.

$$\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{x},t)$$

저기에 $t$ 가 있으면 non-autonomous system, 없으면 autonomous system 이 됩니다. 일반적으로 $t$ 가 있는 경우에는 시스템의 안정성 분석 시 초기시각 $t_0$ 를 추가로 고려해 주어야 하기 때문에 non-autonomous system 의 안정성 분석이 autonomous system의 안정성 분석에 비해서 조금 더 까다롭겠지요. 일단 그래서 autonomous system 만을 고려합니다. 사실 제가 다룰 시스템도 autonomous system 으로 모델링한 시스템이 될 것 같네요.

한편 잘 아시다시피 선형 시스템은 비선형 시스템의 한 특수한 형태로 생각할 수도 있습니다. 그리고 선형 시스템은 LTI (Linear Time Invariant) system 과 LTV (Linear Time Variant) sysem 으로 구분할 수 있지요. 우리는 여기서 autonomous system 만을 다루기로 했으니까, LTV system 이 아닌 LTI system 만 생각하면 될 것 같습니다.

I. Equilibrium Point

평형점 (equilibrium point) 이라고 하는 것은 시스템이 그 상태를 유지하는 지점을 말합니다. 즉, 상태공간상의 어떤 점 $\mathbf{x}^*$ 이 평형점이라고 하려면, $\mathbf{0}=\mathbf{f}(\mathbf{x}^*)$ 을 만족해야 한다는 것이죠. 보통 비선형 시스템은 이런 조건을 만족하는 점, 그러니까 평형점을 여러 개 갖고 있는 경우가 많습니다. 슬슬 시스템의 안정성 이야기를 한다고 해 놓고 갑자기 왜 평형점 이야기를 하는지 싶겠네요. 그 이유는 보통 시스템의 안정성은 그 시스템의 평형점에 대해 분석하는 경우가 많기 때문입니다. 그러면 왜 평형점에 대해서 분석할까요? 우리가 아직 이 글에서 안정성에 대해 명확하게 이야기하지는 않았지만, 조금만 생각해 봅시다. 평형점이 아닌 지점이라면 안정성 분석이 어떤 의미를 가질 수 있을까요? 평형점이 아니라면 운동방정식에 의해 시스템의 상태변수는 계속해서 다른 값으로 변하겠죠. 하지만 또 안정성이라고 하는 것은 특정한 한 위치, 그러니까 평형점에서의 특성만으로 결정되는 것이 아니라 어떤 영역 내에서 상태변수의 궤적이 갖는 특성에 대한 이야기입니다. 평형점이라고 해서 다 안정성을 갖는 것은 아니라는 이야기죠. 평형점에 대한 이야기는 여기까지만 하고 접어둡시다.

II. Concept of Stability

일단 여기서 그놈의 안정성이 뭔지 명확히 합시다. 안정성이라는 것은 시스템의 상태변수가 어떤 영역 내부에, 혹은 어떤 평형점 근처에 머무르고 있는 특성을 의미합니다. 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

 

The equilibrium state $\mathbf{x=0}$ is said to be stable if, for any $R>0$, there exists $r>0$, such that if $\|\mathbf{x}(0)\| < r $, then $\|\mathbf{x}(t)\| < R $ for all $t \ge 0$. Otherwise, the equilibrium point is unstable.

 

정의를 살펴봅시다. 먼저 보이는 것은 평형점이라는 단어입니다. 아무 지점이 아니라 어떤 평형점의 안정성을 논하고 있습니다. 뒤이어 나오는 내용의 의미는 상태변수가 평형점 (여기서는 $\mathbf{0}$) 근처에 가까이 있다면 그 이후로도 계속 가까이 있어야 안정한 평형점인 것이고, 그게 아니라면 그 평형점은 안정하지 않다는 뜻입니다. (모든 시스템의 평형점이 항상 $\mathbf{0}$ 인 것도 아닌데 굳이 $\mathbf{0}$ 이라고 적은 것은 그냥 평행이동으로 모든 평형점을 $\mathbf{0}$ 으로 옮겨놓고 생각할 수 있기 때문입니다. 별 건 아니에요.)

안정성에 대한 한 가지 정의를 위와 같이 할 수 있습니다. 뭐, 다른 방식으로 안정성을 정의할 수도 있겠지만 우리는 저 정의를 쓰도록 합시다. 왜냐하면 나중에 써먹어야 하니까요. 그래도 좀 미안하니까 위의 정의를 그냥 "Stability" 라고 하기보다는 "Stability in the sense of Lyapunov" 혹은 "Lyapunov stability" 라고 부르기도 합니다.

여기서 몇 가지 짚고 넘어갑시다. 지금 우리는 일반적인 비선형 시스템에 대해서 이야기하고 있었는데요, 선형시스템의 경우에는 어떨까요? 잘 아시다시피, 선형 시스템은 불안정하다면 상태변수가 무한대로 커집니다. 그런데 일반적인 비선형 시스템은 그렇지 않을 수도 있어요. 예를 들면 좀 커지다가 일정한 값으로 수렴할 수도 있고, 커졌다가 줄었다가 할 수도 있고 그렇죠. 우리는 선형 시스템하고 친하니까, unstable 이라고 하면 왠지 상태변수가 무한대로 커져야만 할 것도 같지만 Lyapunov stability 의 정의를 만족하지 않는다면 저런 친구들도 unstable 일 수도 있습니다.

A. Asymptotic Stability and Exponential Stability

대충 안정성의 개념에 대해 정의를 했습니다. 이제 조금 더 자세하게 구분해 보도록 합시다. 안정성도 다 같은 안정성이 아니죠. Asymptotic stability 와 exponential stability 라는 더 빡센 안정성 개념이 있습니다. 대충 포함 관계를 다음과 같이 나타낼 수 있겠네요.

$$\textrm{Exponential Stability} \subset \textrm{Asymptotic Stability}\subset \textrm{Lyapunov Stability}$$

그러니까 Asymptotic stability 와 exponential stability 는 Lyapunov stability 의 하위 개념입니다. 그런데 만약 Lyapunov Stability 를 만족하는 평형점이 Asymptotic stability 는 만족하지 않는다고 하면? 걔는 또 따로 marginally stable 하다고 불러 줍니다.

그래서 얘네들이 뭘까요? 간단합니다. 시간이 무한대로 갈수록 상태변수가 평형점, 그러니까 $\mathbf{0}$ 에 수렴한다면 그 평형점은 asymptotically stable 한 평형점입니다. 함정은 시간이 무한대로 갈수록이라는 것이죠. 엄청 느리게 수렴해도 수렴하면 수렴하는 거다 이겁니다. 빠져가지고 그래서 좀 빠르게 수렴하는 친구들을 모아서 특별히 exponential stability 를 갖는다고 불러주는 겁니다. Exponential stability 는 다음과 같이 정의합니다.

 

An equilibrium point $\mathbf{0}$ is exponentially stable if there exist two strictly positive numbers $\alpha$ and $\lambda$ such that

$$\forall t >0,\quad \| \mathbf{x}(t)\| \le \alpha \| \mathbf{x}(0)\| e^{-\lambda t}$$

in some $\mathbf{B}_r$ around the origin.

 

네, exponential stability 를 갖는다고 불리우기 위해서는 얼마나 빨리 수렴해야 하느냐면, 어떤 지수함수보다 빠르게 수렴해야 합니다. 딱 보면 선형 시스템의 해가 생각나시죠? 네, 안정한 선형 시스템은 모두 exponential stability 를 갖습니다. 뒤에 나오는 $\mathbf{B}_r$ 은 일단 못 본 척 넘어갑시다.

III. Local and Global Stability

넘어가자고 했지만 그냥 넘어가면 안 될 것 같아서 $\mathbf{B}_r$ 이 뭔지 이야기해 봅시다.

지금까지 우리는 평형점의 안정성에 대해 이야기했습니다. 평형점 근처에서 시작한 궤적은 계속 그 근처에서 놀아야 안정한 것이고, 아니면 Lyapunov stable 하지 않다, 뭐 이런 이야기 말이죠. 그러면 그 근처라는게 얼마나 근처일까요..?

일단 큰 개념부터 말하자면 local / global stability 는 평형점의 특성일 뿐만 아니라 시스템의 특성이라고도 할 수 있습니다. 먼저 선형 시스템을 예로 들어 봅시다. 선형 시스템은 평형점이 한개죠. 원점이라고 합시다. 그게 안정하다면? 어떤 상태변수도 시간이 지나면 원점으로 수렴하게 될 겁니다. 네, 안정한 선형 시스템은 무조건 globally stable 입니다. 이처럼 상태변수가 어떤 값을 갖더라도 안정한 경우 global stable 이라고 합니다.

그런데 앞에서 일반적인 비선형 시스템은 평형점이 여러개인 경우도 있다고 언급했었죠. 평형점이 여러개라면 globally stable 일 수 있을까요? 어떤 상태변수가 평형점에 있다면 그냥 가만히 있을텐데, 다른 평형점이 globally stable 이라면 거기로 끌려가야합니다. 모순이죠. 그래서 평형점이 여러개라면 globally stable 할 수는 없습니다.

하지만 비선형 시스템도 평형점이 하나일 수 있어요. 그리고 그 평형점이 안정한 평형점일 수도 있죠. 그렇다고 해서 그게 항상 globally stable 한 것은 아닙니다. $\mathbf{B}_r$ 이 의미하는 것이 바로 이 점입니다. 해당 평형점은 안정하지만, 모든 상태변수가 해당 평형점으로 끌려가는 것은 아니고 최소한 $\mathbf{B}_r $ 안에 있는 상태변수들은 그 평형점으로 끌려간다는 겁니다. 이런 식으로, 모든 상태변수를 끌어당기지는 못하는 안정성을 local stability 라고 합니다.

 

안정성에 대해 대충 살펴보았습니다. 원래 Lyapunov theorem 까지 같이 다루려고 했는데, 생각보다 글이 길어지네요. 그 내용은 다음에 시간이 나면 정리하도록 하겠습니다.